Principio de Fermat

El Principio de Fermat en óptica establece:
El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo
El principio fue enunciado de esta forma en el siglo XVII por el matemático francés Pierre de Fermat.
Este enunciado no es completo y no cubre todos los casos, por lo que existe una forma moderna del principio de Fermat. Esta dice que
El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria
Esto quiere decir que, si se expresa el tiempo "t" en función de un parámetro "s" (el espacio recorrido), el trayecto recorrido por la luz será aquel en que dt/ds= 0, es decir, t será un mínimo, un máximo o un punto de inflexión de la curva que representa t en función de s. La carácterística importante, como dice el enunciado, es que los trayectos próximos al verdadero requieren tiempos aproximadamente iguales (esto es forzosamente cierto si t(s) es una función continua y dt/ds= 0).
En esta forma, el principio de Fermat recuerda al Principio de Hamilton o a las Ecuaciones de Euler-Lagrange.
Veamos ahora algunos ejemplos de la aplicación del principio para deducir las leyes de la óptica geométrica.

Ley de la Reflexión

Si suponemos que un rayo de luz sale del punto A en dirección a la superficie plana, que suponemos reflectora, y viaja hasta el punto B ¿Cuál será la trayectoria seguida por la luz? En este caso la luz viaja durante todo el camino por el mismo medio, con el mismo índice de refracción y, por tanto, a la misma velocidad. Así, el tiempo necesario para recorrer el camino entre A y B (pasando por la superficie P) será la distancia APB dividida por la velocidad de la luz en el medio. Como la velocidad es una constante, la trayectoria real, según el principio de Fermat, será la más corta.
Es fácil ver que la distancia APB es la misma que la distancia A'PB, donde A' es la imagen de A. A' está sobre la recta perpendicular al espejo que pasa por A, a la misma distancia del espejo que A y al otro lado del mismo. La distancia mínima A'PB es, obviamente, la línea recta A'P2B, con lo que la trayectoria real es AP2B. El análisis completo de la situación muestra que P2 es tal que los ángulos de incidencia y de reflexión en el punto son iguales, de lo que se deduce la fórmula de la ley de la reflexión: θi = θt

El pequeño teorema de Fermat

- El pequeño teorema de Fermat es uno de los teoremas clásicos de teoría de números relacionado con la divisibilidad. Se formula de la siguiente manera:

Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a , ap ≡ a (mod p)
Pierre de Fermat, 1636

- Aunque son equivalentes, el teorema suele ser presentado de esta otra forma:

Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a coprimo con p , ap-1 ≡ 1 (mod p)
Pierre de Fermat, 1636

Esto quiere decir que, si se eleva un número a a la p-ésima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p (véase aritmética modular). Su interés principal está en su aplicación al problema de la primalidad y en criptografía.
Este teorema no tiene nada que ver con el legendario último teorema de Fermat, que fue sólo una conjetura durante 350 años y finalmente fue demostrado por Andrew Wiles en 1995

Alrededor de 1636, Pierre de Fermat enunció el teorema. Aparece en una de sus cartas a su confidente Frénicle de Bessy, fechada el 18 de octubre de 1640, con el siguiente texto: p divide a ap-1 - 1 cuando p sea primo y a sea coprimo con p.[4]
Aunque actualmente lo conozcamos como pequeño teorema de Fermat, lo cierto es que hasta el siglo XX fue conocido como teorema de Fermat, como recoge por ejemplo Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones arithmeticae.[5] El término pequeño teorema de Fermat, tal como lo conocemos actualmente, fue usado por primera vez por el matemático alemán Kurt Hensel en 1913 en su libro Zahlentheorie.


aqui puedes encontrar unos EJEMPLOS DEL PEQUEÑO TEOREMA

Números primos de Fermat

Los números primos son aquellos únicamente divisibles por uno y por si mismos. Todos los números pueden escribirse como producto de dos números primos.

Un problema interesante es el de averiguar si un número aleatorio es primo o no, para ello se utiliza el "método de las divisiones ".Consiste en ir dividiendo el número por los primos más pequeños. El gran inconveniente que supone es la dificultad para realizar tantas operaciones.

Fermat estudió este problema y concluyo que:



y obtuvo los llamados números de Fermat:


Fermat, tras observar que los primeros números de esta fórmula eran primos creyó que todos lo serían. Sin embargo, en 1739, Euler demostró que el siguiente número de fermat tenía un divisor y por lo tanto, que no era primo.

Video Fermat

Descubrimientos Matematicos





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Fermat_El margen mas Famoso de la Historia (2/3)
Fermat_El margen mas Famoso de la Historia (3/3)

Biografia de Fermat

Nació el 20 de agosto de 1601 en Beaumont de Lomagne. Su padre, Dominique Fermat, era un rico comerciante de pieles que dió a su hijo una buena educación. Debió ser un escolar brillante ya que dominaba el griego, latín y la mayoría de los idiomas europeos, además amaba la literatura y era poeta ocasional. Estudió en la Universidad de Toulouse. Fue en Burdeos donde comenzó sus primeras investigaciones matemáticas.

En 1631 se casó con Louise de Long, prima de su madre, con la que tuvo 3 hijos y 2 hijas. Uno de sus hijos, Clément Samuel sería el que recopilaría sus trabajos matemáticos y los publicaría.

Fermat no era un matemático profesional, era magistrado. Tuvo la costumbre de no publicar nada, sino que anotaba o hacía cálculos en los márgenes de los libros o escribía casualmente sus descubrimientos en cartas a amigos. Tras dar detalles sobre un descubrimiento termina diciendo "lo lamento, pero este margen es insuficiente para dar los detalles de la demostración". De forma que la humanidada se quedó sin saber cuál era la demostración (quién sabe, a lo mejor se lo inventó).

Fermat es mejor conocido por su Enigma, una abstracción del Teorema de Pitágoras, también conocido como Último Teorema de Fermat, que torturó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995. Junto con René Descartes, Fermat fue uno de los líderes matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. A través de su correspondencia con Blaise Pascal, fue co-fundador de la teoría de probabilidades.

La mansión del siglo XV donde nació es en la actualidad un museo. La escuela más antigua y prestigiosa de Toulouse se llama Pierre de Fermat y en ella se imparten clases de ingeniería y comercio. Está situada entre las diez mejores de Francia para clases preparatorias.

Fermat era un matemático que trabajaba la mayor parte del tiempo en soledad. Su único contacto con el resto de la comunidad matemática fue gracias a Marin Mersenne. Cabe destacar también un breve intercambio de cartas con Blaise Pascal. Los resultados de Fermat fueron conocidos por otros pensadores europeos gracias a Mersenne, que los reenvió e hizo una amplia distribución.